Mỗi thành phần của một ma trận hay được cam kết hiệu bằng một vươn lên là với nhì chỉ số nghỉ ngơi bên dưới. Ví dụ, a2,1 màn biểu diễn bộ phận sinh sống mặt hàng thiết bị nhị cùng cột đầu tiên của ma trận A.

Bạn đang xem: Ma trận trực giao là gì

Quý khách hàng vẫn xem: Ma trận trực giao là gì

Trong toán học tập, ma trận là một trong những mảng chữ nhật<1>—những số, cam kết hiệu, hoặc biểu thức, bố trí theo sản phẩm với cột<2><3>—mà mỗi ma trận theo đúng đều phép tắc định trước. Từng ô trong ma trận được điện thoại tư vấn là những phần tử hoặc mục. Ví dụ một ma trận tất cả 2 hàng với 3 cột.

. 1&9&-13\20&5&-6end}.}
*

Lúc các ma trận tất cả cùng form size (chúng bao gồm thuộc số hàng với thuộc số cột), thì rất có thể thực hiện phnghiền cùng hoặc trừ nhì ma trận trên các thành phần tương ứng của chúng. Tuy nhưng, luật lệ vận dụng chất nhận được nhân ma trận chỉ hoàn toàn có thể triển khai được Khi ma trận trước tiên gồm số cột bằng số mặt hàng của ma trận vật dụng hai. Ứng dụng thiết yếu của ma trận sẽ là phnghiền màn trình diễn các biến hóa con đường tính, có nghĩa là sự bao quát hóa hàm đường tính nlỗi f(x) = 4x . Ví dụ, phxay xoay những vectơ vào không khí cha chiều là 1 phép biến đổi tuyến đường tính mà lại rất có thể trình diễn bằng một ma trận tảo R: nếu v là vectơ cột (ma trận chỉ tất cả một cột) biểu đạt địa chỉ của một điểm vào không khí, tích của Rv là 1 trong vec tơ cột biểu đạt địa điểm của đặc điểm đó sau phép xoay này. Tích của hai ma trận đổi khác là 1 trong những ma trận trình diễn hợp của nhị phép biến đổi đường tính. Một áp dụng khác của ma trận sẽ là kiếm tìm nghiệm của những hệ phương thơm trình đường tính. Nếu là ma trận vuông, hoàn toàn có thể chiếm được một số trong những đặc thù của chính nó bằng phương pháp tính định thức của nó. lấy một ví dụ, ma trận vuông là ma trận khả nghịch giả dụ và chỉ nếu như định thức của nó không giống không. Quan niệm hình học của một phép chuyển đổi tuyến tính là nhận thấy (với hầu như biết tin khác) từ trị riêng rẽ với vec tơ riêng của ma trận.

Có thể thấy áp dụng của triết lý ma trận vào phần đông các nghành nghề dịch vụ công nghệ. Trong từng nhánh của thiết bị lý học, bao gồm cơ học cổ điển, quang đãng học, điện từ bỏ học tập, cơ học tập lượng tử, và năng lượng điện động lực học lượng tử, chúng được áp dụng nhằm phân tích các hiện tượng thiết bị lý, nhỏng chuyển động của đồ vật rắn. Trong giao diện máy tính, ma trận được thực hiện để chiếu một hình ảnh 3 chiều lên screen 2 chiều. Trong kim chỉ nan tỷ lệ với thống kê, các ma trận bỗng dưng được áp dụng nhằm diễn đạt tập thích hợp những xác suất; ví dụ, bọn chúng sử dụng vào thuật toán PageRank nhằm xếp hạng những trang vào lệnh tìm kiếm tìm của Google.<4> Phxay tính ma trận tổng thể hóa các định nghĩa vào giải tích nhỏng đạo hàm và hàm nón đối với số chiều to hơn.

Một nhánh bao gồm của giải tích số dành nhằm cách tân và phát triển các thuật toán hữu hiệu cho các tính tân oán ma trận, một chủ thể đang hàng nghìn năm tuổi và là 1 lĩnh vực phân tích rộng lớn thời nay. Phương pháp knhị triển ma trận làm cho đơn giản hóa các tính toán thù bao gồm cả phương diện định hướng lẫn thực hành. Những thuật toán thù dựa vào gần như cấu trúc của những ma trận đặc biệt quan trọng, nlỗi ma trận thưa (sparse) cùng ma trận ngay gần chéo cánh, giúp giải quyết và xử lý hầu như tính toán trong cách thức phần tử hữu hạn cùng phần lớn tính toán thù khác. Ma trận vô hạn xuất hiện vào cơ học thiên thể cùng lý thuyết nguim tử. Một ví dụ dễ dàng và đơn giản về ma trận vô hạn là ma trận biểu diễn những toán thù tử đạo hàm, cơ mà tính năng mang lại chuỗi Taylor của một hàm số.

Định nghĩa

Ma trận là một trong những mảng chữ nhật đựng những số hoặc hầu hết đối tượng người sử dụng toán học khác, mà có thể có mang một vài phép toán như cùng hoặc nhân trên các ma trận.<5> Hay gặp nhất sẽ là ma trận trên một ngôi trường F là một trong mảng chữ nhật chứa các đại lượng vô hướng của F.<6><7> Bài viết này đề cập tới những ma trận thực và phức, có nghĩa là những ma trận mà lại các bộ phận của nó là hầu hết số thực hoặc số phức. Những nhiều loại ma trận tổng quát hơn được luận bàn ngơi nghỉ dưới. lấy ví dụ như, ma trận thực:

A = . =-1,3&0,6\trăng tròn,4&5,5\9,7&-6,2end}.}
*

Các số, cam kết hiệu tuyệt biểu thức vào ma trận được call là những phần tử của nó. Các đường theo pmùi hương ngang hoặc phương dọc chứa những thành phần vào ma trận được điện thoại tư vấn tương ứng là hàng và cột.

Độ béo

Độ bự xuất xắc cỡ của ma trận được quan niệm bởi con số sản phẩm với cột mà lại ma trận có. Một ma trận m hàng với n cột được Hotline là ma trận m × n hoặc ma trận m-nhân-n, trong những khi m và n được Call là chiều của nó. Ví dụ, ma trận A làm việc bên trên là ma trận 3 × 2.

Ma trận chỉ bao gồm một hàng Điện thoại tư vấn là vectơ mặt hàng, và hồ hết ma trận chỉ có một cột điện thoại tư vấn là vectơ cột. Ma trận tất cả cùng số hàng và số cột được Gọi là ma trận vuông. Ma trận bao gồm vô hạn số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) được hotline là ma trận vô hạn. Trong một trong những trường phù hợp, nhỏng chương trình đại số máy tính, đã hữu dụng lúc xét một ma trận nhưng mà không tồn tại mặt hàng hoặc không có cột, goi là ma trận trống rỗng.

Tên hotline Độ Khủng lấy một ví dụ Miêu tả Vectơ mặt hàng 1 × n 3&7&2end}}
*

*

Ma trận có một cột, đôi khi được dùng làm biểu diễn một vectơ Ma trận vuông n × n 9&13&5\1&11&7\2&6&3end}}
*

Ma trận có thuộc số mặt hàng với số cột, nó được sử dụng nhằm trình diễn phép chuyển đổi tuyến tính từ 1 không gian vec tơ vào chính nó, như phxay phản xạ, phép xoay hoặc ánh xạ cắt.

Lịch sử

Ma trận bao gồm một lịch sử hào hùng lâu năm về áp dụng vào giải các phương trình tuyến tính tuy nhiên chúng được biết đến là những mảng cho đến tận trong năm 1800. Cuốn sách Cửu chương thơm toán thuật viết vào khoảng năm 152 Tcông nhân giới thiệu phương trận nhằm giải hệ năm pmùi hương trình đường tính,<8> bao hàm quan niệm về định thức. Năm 1545 công ty tân oán học tập tín đồ Ý Girolamo Cardano giới thiệu cách thức giải này vào châu Âu Khi ông ra mắt quyển Ars Magmãng cầu.<9> Nhà toán thù học tập Japan Seki sẽ sử dụng cách thức mảng này nhằm giải hệ phương thơm trình vào khoảng thời gian 1683.<10> Nhà toán thù học tập Hà Lan Jan de Witt lần đầu tiên màn biểu diễn những thay đổi bên dưới dạng ma trận mảng vào cuốn nắn sách viết năm 1659 Elements of Curves (1659).

Xem thêm: Giới Thiệu Tổng Quan Về Pwc Là Gì, Giới Thiệu Tổng Quan Về Pwc

<11> Giữa các năm 1700 cùng 1710 Gottfried Wilhelm Leibniz ra mắt cách thức sử dụng các mảng để khắc ghi lên tiếng tuyệt kiếm tìm nghiệm cùng nghiên cứu trên 50 các loại ma trận khác biệt.<9> Cramer đưa ra luật lệ của ông vào khoảng thời gian 1750.

Thuật ngữ trong tiếng Anh "matrix" (tiếng Latin là "womb", dẫn xuất trường đoản cú mater—mẹ<12>) bởi vì James Joseph Sylvester nêu ra vào thời điểm năm 1850,<13> lúc ông phân biệt rằng ma trận là 1 trong đối tượng người dùng có tác dụng xuất hiện thêm một trong những định thức nhưng thời buổi này điện thoại tư vấn là phần phụ đại số, Có nghĩa là định thức của không ít ma trận nhỏ rộng thu được từ ma trận thuở đầu bằng cách xóa đi các hàng cùng các cột. Trong một bài xích báo năm 1851, Sylvester giải thích:

Tôi vẫn có mang trong bài báo trước về "Ma trận" là một mảng chữ nhật chứa những phần tử, nhưng mà phần đa định thức khác biệt có thể chỉ dẫn định thức của ma trận bà mẹ.<14>

Arthur Cayley đăng một siêng luận về các phxay đổi khác hình học áp dụng ma trận ngoài các phnghiền chuyển đổi cù đã có được điều tra khảo sát trước đó. Txuất xắc vào đó, ông định nghĩa các phxay tân oán như cộng, trừ, nhân với chia phần đa ma trận này với chứng minh các quy tắc phối hợp với phân păn năn vẫn được thỏa mãn. Cayley vẫn phân tích và minh chứng đặc thù ko giao hoán thù của phxay nhân ma trận tương tự như tính giao hoán của phnghiền cộng ma trận.<9> Lý tngày tiết ma trận sơ knhì bị số lượng giới hạn nghỉ ngơi giải pháp thực hiện những mảng với tính định thức cùng những phxay toán ma trận trừu tượng của Arthur Cayley đang tạo sự cuộc biện pháp mạng đến lý thuyết này. Ông vận dụng có mang ma trận mang lại hệ phương thơm trình tuyến tính chủ quyền. Năm 1858 Cayley ra mắt Hồi ký kết về định hướng ma trận<15><16> trong số đó ông nêu ra với minh chứng định lý Cayley-Hamilton.<9>

Nhà toán học bạn Anh Cullis là người thứ nhất thực hiện ký kết hiệu ngoặc tiến bộ mang đến ma trận vào khoảng thời gian 1913 cùng ông cũng viết ra ký kết hiệu đặc biệt quan trọng A = nhằm màn trình diễn một ma trận cùng với ai,j là bộ phận sống mặt hàng đồ vật i với cột sản phẩm công nghệ j.<9>

Quá trình nghiên cứu định thức khởi nguồn từ một số trong những mối cung cấp không giống nhau.<17> Các bài bác tân oán số học dẫn Gauss tiếp cận liên hệ những hệ số của dạng toàn phương thơm, số đông nhiều thức bao gồm dạng x2 + xy − 2y2, và ánh xạ đường tính vào không khí bố chiều cùng với ma trận. Eisenstein đã cách tân và phát triển xa hơn các có mang này, cùng với nhấn xét theo cách phát thể hiện đại rằng tích ma trận là ko giao hân oán. Cauchy là bạn thứ nhất chứng minh phần đông mệnh đề tổng quát về định thức, khi ông thực hiện khái niệm như sau về định thức của ma trận A = : sửa chữa lũy vượt ajk bởi ajk trong đa thức

a 1 a 2 ⋯ a n ∏ i

Ma trận thường xuyên được viết trong vệt ngoặc vuông:

A = . =a_&a_&cdots &a_\a_&a_&cdots &a_\vdots &vdots &ddots &vdots \a_&a_&cdots &a_end}.}
*

Bài viết liên quan

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *